[Day03]貝爾曼方程

第 12 屆 iThome 鐵人賽

DAY 3

AI & Data

從根本學習Reinforcement Learning系列第 3 篇

12th鐵人賽

hankla

2020-09-03 16:54:12

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前言

很多常見的強化學習算法都是根據貝爾曼方程來的，我們可以把強化學習的目標，用Value Function來表示。之後我們只要求這個Value Function的解就能間接找到強化學習的最佳解，而要求Value Function的解，就必須經過貝爾曼方程來簡化它！！

Episodic and Continuing Task

先來看兩種強化學習的環境

Episodic Tasks
Continuing Tasks

Episodic Tasks表示環境中必須存在Final State，只要時間夠久，最後一定可以結束。我們稱這從開始到結束為1個Episode。像是棋盤遊戲，或是走迷宮等等。

而Continuing Tasks就是除了Episodic Tasks以外的所有Task，或著可以想像成到 $T \to \infty$ 還無法終止的環境。

可以透過自行定義改變環境的種類，像是我們常會把Continuing Task設定跑固定個時間點後結束，就成了Episodic Tasks

Expected Return

現在我們來用數學公式描述之前提到的強化學習的目標，我們說過最大化的目標必須是時間點 $t$ 之後的Reward總和，我們稱這個目標為Expected return，用符號G來表示：

$G_{t} = R_{t+1} + R_{t+2} + R_{t+3} + \ldots + R_{T}$ ， $t$ 表示在時間點 $t$ ， $T$ 則表示最後Final State的時間點。

可以看到Continuing Tasks不滿足上面這個公式，因為 $T \to \infty$ 的話 $G_{t}$ 就不會收斂，所以我們引進一個衰減值 $\gamma\ , \ 0 \leq \gamma \leq 1$ ， $\gamma$ 的用途除了讓Continuing Tasks收斂外，也能表示對未來的重視程度。 $\gamma$ 越高，表示考慮到的未來越多， $\gamma$ 越低，表示越重視眼前的目標。

從更新後的Expected return來看：
$G_{t} = R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2 R_{t+3} + \ldots + \gamma^{T-t-1} R_{T} = \sum\limits_{k=0}^{T-t-1} \gamma^{k} R_{t+k+1}$
$\gamma$ 對 $G_{t}$ 的影響可以從下面兩個極端值理解：

$\gamma = 1,\ \ G_{t}=R_{t+1} + R_{t+2} + \ldots + R_{T}$
$\gamma = 0,\ \ G_{t}=R_{t+1}$

而環境對 $\gamma$ 範圍的影響如下：

當環境為Continuing Tasks時， $T \to \infty$ ，此時 $\gamma$ 範圍為 $0 \leq \gamma < 1$
當環境為Episodic Tasks時， $T \not\to \ \ \infty$ ，此時 $\gamma$ 範圍為 $0 \leq \gamma \leq 1$

策略(Policy)

Policy是用來表示我們Agent在某狀態下行為的機率，符號為 $\pi$ 。其本質上就是一個從State映射到Action上的函數。從機率形式上比較容易理解： $\pi(a\mid s)$ 表示在 $s$ 這個State上，做行為 $a$ 的機率。
可以從下面的圖來看：

現在Agent在圖中 $s_{5}$ 的位置，有4個行為(Left, Right, Top, Down)。現在Agent的policy為隨機策略，選擇Left, Right, Top, Down的機率皆為25%，所以 $\pi$ 的機率分布為以下四種：

$\pi(a_{left}\ \mid\ \ s_{5}) = 25\%$
$\pi(a_{right}\ \mid\ \ s_{5}) = 25\%$
$\pi(a_{top}\ \mid\ \ s_{5}) = 25\%$
$\pi(a_{down}\ \mid\ \ s_{5}) = 25\%$

價值函數(Value Function) 與動作價值函數(Action Value Function)

我們重新來看一下Expected Return的定義，在某個時間點 $t$ 後的Reward總和。好像哪裡怪怪的？每個時間點 $t$ 所在的State可能都不一樣，而Action又必須根據State來選擇，那怎麼能只用時間 $t$ 的Return來當作目標勒？所以我們用一個新的Function來表示在某個State底下的Expected Return，這個Function稱為價值函數(Value Function)，可以寫作：

$V(s)$ 底下有一個 $\pi$ 用來表示這個function是依據策略 $\pi$ 來決定值的。

另外，為了方便計算，我們可以對每個行為 $a$ 都算它的價值函數，稱為動作價值函數 (Action-Value Function)，表示為：

一樣 $\pi$ 用來表示這個function是依照策略 $\pi$ 來決定

可以看出來，Value Function其實就是Action-Value Function的和：
$V_{\pi}(s) = \sum\limits_{a\in A(s)}q_{\pi}(s\ ,\ a)$

貝爾曼方程(Bellman Function)

這邊推導看過就好，結果比較重要

把 $V(s)$ 展開

這邊 $\sum$ 因篇幅關係沒有加上集合範圍，可以參考底部公式的範圍，
$\gamma$ 前方的 $\infty$ 只是方便理解，實際上可用上方講的 $G_{t}$ 取代

先把 $G_{t}$ 根據定義的公式拆開，再把期望值分為兩部分。

第一部分根據期望值的定義展開，這邊的隨機變數為 $R_{t+1}$ 且機率為 $p(r\ \mid\ \ s\ ,\ a)$ ，依照昨天最後講的公式，可以得到 $p(r\ \mid\ \ s\ ,\ a) = \sum\limits_{s^{'}}p(s^{'}\ ,\ r\ \mid\ \ s\ ,\ a)$ 。
接著根據期望值的定義：隨機變數*對應隨機變數出現的機率，得到 $\sum\limits_{s^{'}\in S}\sum\limits_{r\in R(s)}p(s^{'}\ ,\ r\ \mid\ \ s\ ,\ a)$ 。
最後我們是計算在策略 $\pi$ 下的值，每一個Action都有固定的比例對這個State上的Value做出貢獻，我們可以想成每一個Action對這個期望值有一定的權重。以上面迷宮例子來看，有25%的Reward是從 $a_{left}$ 來的；有25%的Reward是從 $a_{right}$ ，以此類推。所以必須對每個Action都乘上Policy佔的比例。

第二部分跟上面很像，差別在於這邊期望值裡的隨機變數為 $\gamma\cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty}\gamma^{k}R_{t+k+2}$ ，我們可以仿造第一部分的公式展開，你會發現式子中的 $\sum$ 會根據下一個State的不同而改變。我們可以只專注在下一個State與它的機率，剩下部分就留給下下一個State去考慮就好。所以我們用下個State的期望值來解決 $\sum$ 不同的問題，但要記得我們需要考慮下個State的所有可能。

事實上，這邊用到的是全期望公式，
詳細推導可以看這篇

仔細看第二部分，其實就是原式在 $V(s^{'})$ 時的情形，所以把它換成 $V(s^{'})$
最後把同項的合在一起，再寫成期望值的定義就好了。

這個公式就叫做貝爾曼方程(Bellman Function)，仔細看它的結構，原本我們需要算時間點 $t$ ~ $T$ 的Return，這是件非常麻煩的事，你要記錄每個時間點 $t$ 的Return值，並且要等到return收斂後才能更新。但是Bellman Function將所有State的關係壓縮為只跟後一個State有關，這種不需要等return收斂就能更新的方法稱為Bootstrapping。

有 $V(s)$ 的Bellman Function形式，當然也有 $q(s\ \mid\ ,\ \ a)$ 的形式